Дано:
К окружности проведены касательные MA и MB из точки M. Прямая пересекает окружность в точках P и Q. Точка E — середина хорды PQ.
Найти:
Докажите, что угол AEM равен углу BEM.
Решение:
1. Известно, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому имеем:
∠MAB = 90 градусов и ∠MBE = 90 градусов.
2. Так как E — середина хорды PQ, значит отрезки EP и EQ равны:
EP = EQ.
3. По свойству касательных, отрезки MA и MB равны:
MA = MB.
4. Рассмотрим треугольники AEM и BEM. В этих треугольниках у нас есть:
- MA = MB (равные отрезки касательных),
- EP = EQ (поскольку E — середина хорды),
- и углы ∠MAB и ∠MBE оба равны 90 градусов.
5. Таким образом, треугольники AEM и BEM имеют две стороны, равные между собой, и угол между этими сторонами равен 90 градусов.
6. Это означает, что по теореме о равенстве треугольников (по двум сторонам и углу) следует, что:
треугольник AEM равен треугольнику BEM.
7. Следовательно, углы AEM и BEM также равны:
∠AEM = ∠BEM.
Ответ:
Угол AEM равен углу BEM.