Дано:
Выпуклый четырехугольник ABCD. Обозначим биссектрисы углов A, B, C и D как l_A, l_B, l_C и l_D соответственно.
Найти:
Доказать, что пересечение биссектрис углов ABCD образует вписанный четырехугольник.
Решение:
1. Для начала вспомним определение вписанного четырехугольника. Четырехугольник называется вписанным, если его углы взаимно дополняют друг друга: сумма противолежащих углов равна 180°.
2. Рассмотрим углы в четырехугольнике ABCD:
∠A + ∠C = 180°
∠B + ∠D = 180°
3. Теперь рассмотрим свойства биссектрис. Биссектрисы углов делят углы пополам:
- Биссектрисы углов A и C делят их на углы по 1/2 ∠A и 1/2 ∠C.
- Биссектрисы углов B и D делят их на углы по 1/2 ∠B и 1/2 ∠D.
4. Пересечение биссектрис образует новые углы:
- Угол E, образованный биссектрисами углов A и B (где l_A пересекает l_B).
- Угол F, образованный биссектрисами углов B и C (где l_B пересекает l_C).
- Угол G, образованный биссектрисами углов C и D (где l_C пересекает l_D).
- Угол H, образованный биссектрисами углов D и A (где l_D пересекает l_A).
5. Теперь найдем сумму противолежащих углов нового четырехугольника EFGH:
- Угол E + угол G = (1/2 ∠A) + (1/2 ∠C) = 1/2(∠A + ∠C) = 1/2(180°) = 90°.
- Угол F + угол H = (1/2 ∠B) + (1/2 ∠D) = 1/2(∠B + ∠D) = 1/2(180°) = 90°.
6. Углы E и G являются противоположными углами, так же как углы F и H. Следовательно:
∠E + ∠G = 90°
∠F + ∠H = 90°
7. Таким образом, сумма углов E и G равна сумме углов F и H. Это означает, что EFGH — вписанный четырехугольник, так как сумма противолежащих углов равна 180°.
Ответ:
Пересечение биссектрис всех углов выпуклого четырехугольника образует вписанный четырехугольник.