Дано:
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Из точки O опущены перпендикуляры на стороны AB, BC, CD и DA, и пусть эти перпендикуляры встречаются с соответствующими сторонами в точках P, Q, R и S.
Найти:
Докажите, что четырехугольник PQRS можно вписать в окружность.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков, которые образуют перпендикуляры:
- OP = h1 (перпендикуляр к AB),
- OQ = h2 (перпендикуляр к BC),
- OR = h3 (перпендикуляр к CD),
- OS = h4 (перпендикуляр к DA).
2. С рассмотрением четырехугольника ABCD, применим теорему о том, что если в любом четырехугольнике сумма длин противолежащих сторон равна, то этот четырехугольник можно вписать в окружность.
3. Для этого найдем длины отрезков, на которые делятся стороны четырехугольника ABCD при проведении перпендикуляров:
- На стороне AB: AP + PB = a,
- На стороне BC: BQ + QC = b,
- На стороне CD: CR + RD = c,
- На стороне DA: DS + SA = d.
4. Мы знаем, что сумма противоположных сторон четырехугольника ABCD равна:
AB + CD = AD + BC.
5. В силу свойств прямоугольных треугольников, имеем:
AP + PB = h1 (высота) и
CR + RD = h3 (высота), аналогично для других сторон.
6. Таким образом, можно записать следующее равенство:
h1 + h3 = h2 + h4.
7. Это равенство означает, что сумма длин отрезков PQ и RS равна сумме длин отрезков PS и QR, что подтверждает, что четырехугольник PQRS можно вписать в окружность.
Ответ:
Четырехугольник PQRS можно вписать в окружность.