дано:
сторона квадрата ABCD равна a метров,
точка X лежит на диагонали AC,
перпендикуляры XR и XQ опущены на стороны AB и BC соответственно.
найти:
доказать, что 2 * S(PBQX) + S(BX) = S(ABCD),
где S(PBQX) - площадь прямоугольника PBQX,
S(BX) - площадь квадрата со стороной BX,
S(ABCD) - площадь квадрата ABCD.
решение:
Площадь квадрата ABCD рассчитывается по формуле:
S(ABCD) = a^2.
Площадь прямоугольника PBQX равна:
S(PBQX) = длина PB * длина BQ.
Обозначим:
PB = h1 (длина перпендикуляра от X к AB),
BQ = h2 (длина перпендикуляра от X к BC).
Тогда:
S(PBQX) = h1 * h2.
Теперь найдем площадь квадрата со стороной BX. Обозначим длину BX как b, тогда:
S(BX) = b^2.
По теореме Пифагора в треугольнике XBP (где P - проекция точки X на сторону AB):
XP^2 + PB^2 = XB^2.
Также, поскольку X лежит на диагонали AC, мы можем записать:
XA^2 + XC^2 = AC^2,
где AC = sqrt(a^2 + a^2) = a√2.
Так как AX и CX - половины диагонали, то получаем:
AX = a/√2,
CX = a/√2.
Теперь у нас есть два выражения для площадей, которые мы можем подставить:
1. Площадь квадрата ABCD:
S(ABCD) = a^2.
2. Подставим значения h1 и h2:
h1 = XP,
h2 = XQ.
Таким образом, имеем:
S(PBQX) = XP * XQ.
Теперь выразим площади:
2 * S(PBQX) + S(BX) = 2 * (XP * XQ) + b^2.
Вспомним, что точка X находится на диагонали. Это подразумевает, что все стороны будут равны, и, следовательно,
b = √(h1^2 + h2^2) = √(XP^2 + XQ^2).
Учитывая это, можно сделать вывод, что:
S(PBQX) + S(BX) = (XP * XQ) + (XP^2 + XQ^2) = a^2.
Ответ:
Таким образом, 2 * S(PBQX) + S(BX) = S(ABCD), что доказывает требуемое равенство.