Дано:
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC. На диагонали AC опущены перпендикуляры BE и CK из точек B и C соответственно.
Найти:
Докажите, что точки A, E, K и D лежат на одной окружности.
Решение:
1. Поскольку BE и CK являются перпендикулярами к диагонали AC, то углы AEB и ACK равны 90 градусам. То есть:
∠AEB = 90° и ∠ACK = 90°.
2. Рассмотрим четырехугольник AEKD. Нам нужно показать, что он является вписанным, т.е. противолежащие углы в нем должны быть равны.
3. Угол AEK равен углу ACB, так как AB и AC являются секущими для этих углов. Аналогично угол ADK равен углу ABC, так как AD и DC также являются секущими.
4. Таким образом, мы имеем:
∠AEK + ∠ADK = ∠ACB + ∠ABC.
5. В трапеции ABCD сумма углов ACB и ABC равна 180°, так как они являются внутренними углами на одной стороне от секущей AC.
6. Следовательно:
∠AEK + ∠ADK = 180°.
7. По теореме о свойствах вписанных углов, если сумма противолежащих углов равна 180°, то четырехугольник AEKD является вписанным. Это означает, что точки A, E, K и D лежат на одной окружности.
Ответ:
Точки A, E, K и D лежат на одной окружности.