Дано:
Квадрат ABCD со сторонами длиной a.
Точка E – середина стороны AD.
Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок BE.
Найти:
Угол BHD.
Решение:
1. Определим координаты вершин квадрата ABCD:
A(0, a), B(a, a), C(a, 0), D(0, 0).
Тогда координаты точки E (середина AD) будут:
E(0, a/2).
2. Найдем уравнение прямой BE.
Координаты точки B: B(a, a), E(0, a/2).
У slope (наклон) линии BE равен:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (a/2 - a) / (0 - a) = (-a/2) / (-a) = 1/2.
3. Таким образом, уравнение прямой BE в виде y = mx + b:
Подставим координаты точки B для нахождения b:
a = (1/2)*a + b → b = a/2.
Значит, уравнение прямой BE:
y = (1/2)x + (a/2).
4. Теперь найдем уравнение прямой AH, которая перпендикулярна BE и проходит через точку B.
Умножаем наклон прямой BE на -1 (перпендикуляр):
Наклон AH = -2.
Уравнение прямой AH (используем координаты B):
y - a = -2(x - a).
Преобразуя, получаем:
y = -2x + 3a.
5. Найдем точку H, которая является пересечением прямых BE и AH.
Приравняем уравнения y = (1/2)x + (a/2) и y = -2x + 3a:
(1/2)x + (a/2) = -2x + 3a.
Умножим на 2 для избавления от дроби:
x + a = -4x + 6a.
Переносим все x в одну сторону:
5x = 5a → x = a.
Подставляем x = a в одно из уравнений для нахождения y:
y = (1/2)*a + (a/2) = (1/2)a + (1/2)a = a.
Значит, H(a, a).
6. Теперь нам нужно найти угол BHD.
Векторы BH и DH:
BH = H - B = (a, a) - (a, a) = (0, 0),
DH = H - D = (a, a) - (0, 0) = (a, a).
7. Углы между векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
cos(BHD) = (BH * DH) / (|BH| * |DH|).
Однако, так как вектор BH равен нулю, это указывает на то, что угол BHD равен 90°.
Ответ:
Угол BHD равен 90°.