Дано:
Треугольник ABC, в котором угол ABC равен 60°.
Биссектрисы AE и CK пересекаются в точке O.
Найти:
Докажите, что длина отрезка OE равна длине отрезка CK, то есть OE = CK.
Решение:
1. Обозначим углы треугольника ABC следующим образом:
Угол A = alpha, угол B = 60°, угол C = beta.
Из свойств треугольника следует, что alpha + 60° + beta = 180°.
Следовательно, alpha + beta = 120°.
2. Рассмотрим биссектрису AE. По свойству биссектрисы:
Угол AEO = (alpha / 2)
Угол BEO = (60° / 2) = 30°.
3. Теперь рассмотрим угол AOC:
Угол AOC = 180° - (угол AEO + угол BEO).
Значит, угол AOC = 180° - (alpha / 2 + 30°).
4. Аналогично, рассмотрим биссектрису CK:
Угол COO = (beta / 2)
Угол BCO = (60° / 2) = 30°.
5. Найдем угол BOC:
Угол BOC = 180° - (угол COO + угол BCO).
Угол BOC = 180° - (beta / 2 + 30°).
6. Поскольку AE и CK являются биссектрисами, можно записать равенство углов:
Угол AOC = угол BOC.
Таким образом, имеем:
180° - (alpha / 2 + 30°) = 180° - (beta / 2 + 30°).
7. Убираем 180° и 30° из обоих частей уравнения:
- (alpha / 2) = - (beta / 2),
следовательно, alpha = beta.
8. Поскольку углы A и C равны, треугольник ABC является изососисом с AB = AC. Это означает, что bisectrix AE делит сторону BC пополам.
9. Теперь применим свойства треугольников OBE и OCK. В этих два треугольниках:
- Они имеют общий угол (угол BOE и угол COK оба равны 30°).
- Углы AEO и COO равны (по установленному равенству alpha / 2 = beta / 2).
10. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников у нас есть:
Треугольник OBE равен треугольнику OCK по двум углам и стороне между ними, поэтому OE = CK.
Ответ:
OE = CK.