Дано:
- Треугольник ABC, угол B равен 60°.
- Биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O.
Найти: OD = OE.
Решение:
1. Пусть AB = c, AC = b, BC = a.
2. По свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые делится сторона, равен отношению смежных сторон. Для биссектрисы AD, проведенной из вершины A, справедливо:
BD/DC = AB/AC = c/b.
3. Обозначим точки пересечения O с отрезками BD и CE как OD и OE соответственно.
4. Для биссектрисы CE, проведенной из вершины C, также справедливо:
AE/EB = AC/AB = b/c.
5. В треугольнике ABO, угол AOB равен 60°, так как угол B = 60°. Таким образом, угол AOC также равен 60°, поскольку угол AOC = 180° - (угол AOB + угол ABC).
6. В треугольнике AOD и треугольнике AOE, так как AO является общей стороной и углы AOD и AOE равны (оба равны 30°, так как AD и CE - биссектрисы), треугольники AOD и AOE равны по двум сторонам и углу между ними (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу).
7. Следовательно, по равенству треугольников AOD и AOE:
OD = OE.
Ответ: OD = OE.