Дано:
Треугольник ABC с вписанной окружностью, которая касается сторон AB и BC в точках M и K соответственно. Биссектрису угла A пересекает прямая MK в точке E.
Найти:
Докажите, что угол AEC является прямым (90°).
Решение:
1. Обозначим угол A как угол A, угол B как угол B, угол C как угол C.
Угол A = ∠A, угол B = ∠B, угол C = ∠C.
2. По свойству вписанной окружности известно, что прямые AM и AK являются касательными к окружности из точки A. Следовательно,
AM = AB и AK = AC.
3. Из этого следует, что:
∠MAB = 90° - (∠B / 2)
∠KAC = 90° - (∠C / 2).
4. Теперь рассмотрим угол AEM:
Угол AEM = ∠MAB + ∠BAE = (90° - (∠B / 2)) + (∠A / 2).
5. Аналогично, для угла AEK:
Угол AEK = ∠KAC + ∠BAE = (90° - (∠C / 2)) + (∠A / 2).
6. Найдем угол AEC:
Угол AEC = угол AEM + угол AEK.
Угол AEC = ((90° - (∠B / 2)) + (∠A / 2)) + ((90° - (∠C / 2)) + (∠A / 2)).
7. Упрощаем выражение:
Угол AEC = 180° - (∠B / 2) - (∠C / 2) + ∠A.
Поскольку сумма углов треугольника A равна 180°, можно записать:
∠A + ∠B + ∠C = 180°,
откуда следует:
∠A = 180° - (∠B + ∠C).
8. Подставляем значение ∠A в уравнение:
Угол AEC = 180° - (∠B / 2) - (∠C / 2) + (180° - (∠B + ∠C)).
Упрощаем:
Угол AEC = 360° - (∠B / 2) - (∠C / 2) - ∠B - ∠C
Угол AEC = 360° - (3/2)(∠B + ∠C).
9. Поскольку ∠B + ∠C = 180°, подставим это в уравнение:
Угол AEC = 360° - (3/2)(180°) = 360° - 270° = 90°.
Ответ:
Угол AEC является прямым (90°).