Дано: В треугольнике ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках M, N и K соответственно. Прямая MN пересекает прямую AC в точке P, при этом PC = AC.
Найти: В каком отношении точка K делит сторону AC.
Решение:
1. Поскольку MN — это прямая, соединяющая точки касания, она называется прямой симплекса. В треугольнике ABC прямая MN пересекает AC в точке P, и нам дано, что PC = AC. Это значит, что P — это точка, в которой прямой симплекса пересекает продолжение стороны AC за точкой C.
2. Обозначим длины отрезков на AC как AK = x и KC = y. Поскольку K — это точка касания, отрезки AK и KC равны касательным отрезкам к окружности из соответствующих вершин треугольника.
3. Поскольку P находится на продолжении AC, и PC = AC, отрезок AP равен AK + KC = x + y.
4. Прямая MN пересекает AC в точке P, которая является точкой, делящей отрезок AC в такой пропорции, что AP = AK + KC и PC = AP. Таким образом, отрезок PC равен двойной длине отрезка AP.
5. Это означает, что точка K делит сторону AC в отношении, которое можно выразить как 1:1.
Ответ: Точка K делит сторону AC в отношении 1:1.