Дано:
Треугольник ABC.
Биссектрисы углов A и C пересекаются с перпендикулярами AP и CQ в точках P и Q соответственно.
Найти:
Докажите, что прямая PQ проходит через точки касания со сторонами вписанной в треугольник ABC окружности.
Решение:
1. Обозначим точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника ABC как D, E и F.
Пусть D - точка касания с AB, E - точка касания с BC, F - точка касания с AC.
2. По свойству биссектрисы:
Углы ∠BAP и ∠CAQ равны, так как AP и CQ — это перпендикуляры к биссектрисам углов A и C.
3. Введем обозначения:
Угол BAP = alpha
Угол CAQ = beta
4. Поскольку AP и CQ являются перпендикулярами, то:
∠PAQ = 90° - alpha
∠QAQ = 90° - beta
5. Рассмотрим треугольники ADP и ACQ:
Эти треугольники имеют общий угол ∠A и два равных угла (∠BAP и ∠CAQ).
6. Следовательно, по теореме о равенстве треугольников, можно утверждать, что:
Отрезки AD и AC равны, а также отрезки DP и CQ равны.
7. Теперь рассмотрим построение прямой PQ.
Из свойств вписанной окружности следует, что точки D и E делят стороны AB и BC на два равных отрезка:
AD = AF и BE = BD.
8. Таким образом, прямая PQ будет параллельна стороне AB и BC, поскольку:
Угол PAD = угол BAP и угол QAC = угол CAQ.
9. Поэтому прямая PQ пройдет через точки D и E, которые являются точками касания вписанной окружности.
Ответ:
Прямая PQ проходит через точки касания со сторонами вписанной в треугольник ABC окружности.