Дано:
Треугольник ABC, в котором проведена медиана BM. Сумма углов ABM и ACB равна 90°.
Найти:
Докажите, что треугольник ABC либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Решение:
1. Обозначим угол ABM как α и угол ACB как β.
По условию задачи: α + β = 90°.
2. Так как BM — медиана, то точка M делит сторону AC на две равные части: AM = MC.
3. Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них есть общий отрезок BM, а также два угла:
- угол ABM = α,
- угол ACM = 180° - β (так как сумма углов в треугольнике равна 180°).
4. Составим уравнение для суммы углов треугольника ACM:
угол ACM + угол AMB + угол CAB = 180°.
5. Подставим значение угла ACM:
(180° - β) + угол AMB + угол CAB = 180°.
6. Это упрощается до:
угол AMB + угол CAB - β = 0,
угол AMB + угол CAB = β.
7. Теперь рассмотрим два случая.
Случай 1: треугольник ABC является прямоугольным.
- Если угол ACB = 90°, то β = 90°. Таким образом, α + 90° = 90°, что подразумевает угол ABM = 0°, что невозможно. Следовательно, этот случай отклоняется.
Случай 2: треугольник ABC равнобедренный.
- Если AB = AC, то углы CAB и ABC равны. В этом случае мы можем сказать, что угол ABM равен углу ACM. Поскольку α + β = 90°, можно рассмотреть сумму этих двух равных углов. В этом случае, если один угол равен 45°, второй угол тоже будет равен 45°.
Таким образом, имеем два результата:
- Если треугольник равнобедренный, то он удовлетворяет условиям задачи.
- Если треугольник не равнобедренный, но при этом выполняется условие α + β = 90°, это указывает на то, что угол ACB = 90°, что делает треугольник прямоугольным.
Ответ:
Треугольник ABC либо равнобедренный, либо прямоугольный.