Дано: Сумма углов A и C треугольника ABC равна углу АВМ.
Найти: Доказать, что ВС = 2ВМ.
Решение:
Обозначим угол BAC как α.
Из условия дано, что угол BMC равен углу BAC (угол между медианой и стороной треугольника).
Также известно, что сумма углов A и C треугольника ABC равна α + β, где β - угол C.
Из свойства медианы треугольника следует, что угол BMC равен углу BAC.
Таким образом, угол ABM также равен α.
Из условия задачи следует, что угол ABM равен α + β.
Следовательно, сумма углов A и C треугольника ABC равна углу ABM, то есть α + β = α + β.
Отсюда получаем, что угол C равен углу BAC, то есть С = α.
Теперь рассмотрим треугольники ВСМ и ВМА.
У них углы при вершине равны, так как угол C равен углу BAC.
Также, угол В равен углу В, так как это общий угол.
По условию, угол BCM равен углу BAC.
Из подобия треугольников ВСМ и ВМА следует, что соответствующие стороны пропорциональны: ВС/ВМ = ВМ/МА.
Так как МА = 2МB (по свойству медианы), подставляем это значение в уравнение: ВС/ВМ = ВМ/2ВМ.
Сокращаем на ВМ: ВС = 2ВМ.
Таким образом, доказано, что ВС = 2ВМ.