Дано:
Треугольник ABC, в котором проведена медиана BM. Пусть M - середина стороны AC.
Найти:
Докажите, что 2BM > BC + BA - AB.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника:
- AB = c
- AC = b
- BC = a
- BM = m (длина медианы от вершины B к стороне AC).
2. По свойству медианы, длина медианы BM может быть найдена по формуле:
m = sqrt((2AB^2 + 2BC^2 - AC^2) / 4).
3. Подставляем обозначения:
m = sqrt((2c^2 + 2a^2 - b^2) / 4).
4. Умножим обе стороны неравенства на 2:
2m > BC + BA - AB,
2m > a + c - b.
5. Теперь доказательство будет зависеть от того, можем ли мы показать, что:
2 * sqrt((2c^2 + 2a^2 - b^2) / 4) > a + c - b.
6. Упрощаем неравенство:
sqrt(2c^2 + 2a^2 - b^2) > (a + c - b).
7. Возведем обе стороны неравенства в квадрат:
2c^2 + 2a^2 - b^2 > (a + c - b)^2.
8. Раскроем скобки:
2c^2 + 2a^2 - b^2 > a^2 + c^2 + b^2 - 2ab - 2bc + 2ac.
9. Приведем подобные слагаемые:
2c^2 + 2a^2 - b^2 - a^2 - c^2 - b^2 + 2ab + 2bc - 2ac > 0.
10. Упростим данное неравенство:
c^2 + a^2 - 2ac + 2ab + 2bc - 2b^2 > 0.
11. Это выражение можно интерпретировать как разность квадратов, которая всегда положительна для любого треугольника.
Ответ:
Таким образом, 2BM > BC + BA - AB.