Дано:
Треугольник ABC, в котором проведена медиана BM. Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC, обозначим эту середину как M.
Найти:
Докажите, что 2BM < BC + BA.
Решение:
1. По свойству медианы, точка M делит сторону AC пополам, то есть AM = MC.
2. Применим неравенство треугольника к треугольнику BMC:
BC < BM + MC.
3. Поскольку AM = MC, можно записать:
BC < BM + AM.
4. Аналогично применим неравенство треугольника к треугольнику BAM:
BA < BM + AM.
5. Теперь сложим оба неравенства:
BC + BA < (BM + MC) + (BM + AM).
6. Упрощая полученное неравенство, получим:
BC + BA < 2BM + AM + AM = 2BM + 2AM.
7. Так как AM = MC, то 2AM = AC. Объединив уравнения, получаем:
BC + BA < 2BM + AC.
8. Отсюда следует, что:
2BM < BC + BA.
Ответ:
В треугольнике ABC, где проведена медиана BM, верно неравенство 2BM < BC + BA.