Дано:
- В окружности проведена хорда AB, равная радиусу R окружности.
Найти:
Величину угла, вписанного в эту окружность и опирающегося на данную хорду.
Решение:
1. Обозначим центр окружности как O. Поскольку AB = R, можно рассмотреть треугольник OAB, где OA и OB — радиусы окружности.
2. Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB = R.
3. Обозначим угол AOB как α. В этом треугольнике сумма углов равна 180°:
∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
4. Углы OAB и OBA равны (поскольку стороны OA и OB равны), обозначим их как β. Тогда у нас есть:
β + β + α = 180°,
2β + α = 180°,
α = 180° - 2β.
5. Вписанный угол, опирающийся на хорду AB, равен половине угла AOB:
угол вписанный = 1/2 * α.
6. Подставим значение α:
угол вписанный = 1/2 * (180° - 2β) = 90° - β.
7. Теперь найдем значение β. В треугольнике OAB по теореме косинусов:
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(α),
подставляем значения:
R^2 = R^2 + R^2 - 2 * R * R * cos(α).
8. Упростим уравнение:
R^2 = 2R^2(1 - cos(α)),
1/2 = 1 - cos(α),
cos(α) = 1/2.
9. Это означает, что α = 60°.
10. Теперь подставим значение α в формулу для вписанного угла:
угол вписанный = 1/2 * 60° = 30°.
Ответ:
Величина угла, вписанного в окружность и опирающегося на данную хорду, равна 30°.