Дано:
- Треугольник ABC.
- O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
- A — вершина треугольника ABC.
- M — точка пересечения прямой AO с окружностью, описанной около треугольника ABC.
- B и C — вершины треугольника.
Найти:
Докажите, что треугольники BOM и COM равнобедренные.
Решение:
1. Поскольку O является центром вписанной окружности, то радиусы, проведенные из центра O к сторонам AB и AC, будут перпендикулярны этим сторонам.
2. Так как прямая AO проходит через A и O, она также будет являться медианой для отрезка BC.
3. Рассмотрим треугольники BOM и COM.
- В треугольнике BOM:
- OB — радиус описанной окружности.
- OM — радиус описанной окружности, проведенный в точку M.
4. По свойству радиусов окружности, проведенных к одной и той же дуге (поскольку точка M лежит на окружности, описанной вокруг треугольника), мы имеем:
OM = OB = R (радиус окружности).
5. Таким образом, в треугольнике BOM:
OB = OM,
что означает, что треугольник BOM равнобедренный.
6. Аналогично анализируем треугольник COM.
- OC — радиус описанной окружности.
- OM — радиус описанной окружности.
7. Также по аналогии видно, что:
OC = OM = R.
8. Следовательно, в треугольнике COM:
OC = OM,
что значит, что треугольник COM тоже равнобедренный.
Ответ:
Треугольники BOM и COM являются равнобедренными.