Дано:
- Окружность с центром O.
- Хорда AB окружности.
- Точка C на хорде AB.
- Окружность, описанная около треугольника AOC, пересекает данную окружность в точке D, отличной от точки C.
Найти:
Докажите, что BC = CD.
Решение:
1. Рассмотрим углы при вершине C. Поскольку C находится на хорде AB, угол ACB будет равен углу AOB (по теореме о вписанных и центральных углах), где угол AOB является центральным углом, соответствующим дуге AB.
2. В треугольнике AOC, D лежит на окружности, описанной вокруг этого треугольника. Это означает, что угол ACD равен углу AOD по свойству углов, образованных хордой и секущей.
3. Поскольку OD является радиусом окружности, то угол OCD будет равен углу OAC. Это также можно записать как угол ODC = угол OAC.
4. Теперь мы можем использовать следующее равенство:
угол ACD + угол AOD = 180°,
так как они являются углами на одной стороне прямой AC.
5. Следовательно, у нас есть:
угол ACD = угол ACB,
угол BCD = угол CAD.
6. Так как углы ACD и BCD равны (из-за их равенства с другими углами), мы можем заключить, что отрезки BC и CD будут равны, так как они находятся напротив равных углов.
Таким образом, получаем:
BC = CD.
Ответ:
BC = CD.