Дано:
- Треугольник ABC, в котором A - его вершина.
- Центр O окружности, описанной около треугольника ABC.
- Высота AH, проведенная из вершины A на сторону BC.
Найти:
Докажите, что углы BAH и OAC равны.
Решение:
1. Поскольку O - центр окружности, описанной около треугольника ABC, то OA = OB = OC (радиусы окружности).
2. Угол AOH является центральным углом, опирающимся на дугу BC, а угол BAH - вписанным углом, опирающимся на ту же дугу BC. По свойству углов, образованных хордой и секущей, можно записать следующее равенство:
угол AOH = 2 * угол BAH.
3. Также отметим, что высота AH является перпендикуляром к стороне BC. Это означает, что угол AHB = 90° и угол AHC = 90°.
4. В треугольнике AOC угол OAC также является углом, который опирается на дугу BC. Таким образом, мы можем записать:
угол OAC = угол AOH / 2.
5. Объединяя все вышесказанное, получаем:
угол AOH = 2 * угол BAH,
угол OAC = угол AOH / 2.
6. Подставляя первое уравнение во второе, имеем:
угол OAC = (2 * угол BAH) / 2,
угол OAC = угол BAH.
Следовательно:
угол BAH = угол OAC.
Ответ:
углы BAH и OAC равны.