Дано:
- Две окружности пересекаются в точках M и K.
- Прямые AB и CD проходят через точки M и K, пересекая первую окружность в точках A и C, а вторую — в точках B и D.
Найти:
Докажите, что AC параллельно BD.
Решение:
1. Обозначим центры первой окружности как O1, а второй как O2.
2. Углы, образованные радиусами в точках пересечения с прямыми, можно обозначить следующим образом:
- угол O1AM и угол O1CM (радиусы O1A и O1C).
- угол O2BM и угол O2DM (радиусы O2B и O2D).
3. Поскольку точки M и K являются общими точками для обеих окружностей, по свойству углов мы можем утверждать, что:
угол O1AM = угол O2BM и угол O1CM = угол O2DM.
4. Теперь рассмотрим углы, образованные секущими AB и CD:
- угол AMK и угол BMK (оба угла опираются на одну и ту же дугу MK).
- угол CMK и угол DMK (также опираются на одну и ту же дугу MK).
5. С учетом свойства секущих, можно записать равенство углов:
угол AMK + угол CMK = 180° и угол BMK + угол DMK = 180°.
6. Таким образом, если:
угол AMK + угол CMK = угол BMK + угол DMK,
то эти два выражения показывают, что линии AC и BD, будучи пересеченными этими углами, должны быть параллельны.
7. По свойству параллельных линий, если наклонные углы равны, то прямые AC и BD являются параллельными.
Таким образом, мы имеем:
AC || BD.
Ответ:
AC параллельно BD.