Дано:
- Две окружности пересекаются в точках P и Q.
- Третья окружность с центром в точке P пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D.
Найти:
Докажите, что углы AQD и BQC равны.
Решение:
1. Обозначим окружности:
- O1 — первая окружность (пересекается в P и Q).
- O2 — вторая окружность (пересекается в P и Q).
- O3 — третья окружность (центр в P).
2. Рассмотрим углы:
- угол AQD = угол 1,
- угол BQC = угол 2.
3. Оба угла опираются на одну и ту же дугу QD окружности O2, и выражаются через радиусы и секущие:
- угол 1 (AQD) опирается на дугу AD окружности O2.
- угол 2 (BQC) опирается на ту же дугу AD окружности O2.
4. По свойству углов, опирающихся на одну и ту же дугу, имеем:
угол AQD = угол BQC.
5. Таким образом, используя свойства окружностей и углов, можно окончательно заключить:
угол AQD = угол BQC.
Ответ:
углы AQD и BQC равны.