Дано:
- Треугольник ABC.
- Точка P внутри треугольника, такая что:
угол BPC = угол BAC + 60°,
угол APC = угол ABC + 60°,
угол APB = угол ACB + 60°.
Найти:
Докажите, что KLM — правильный треугольник, где K, L и M — точки пересечения прямых AP, BP и CP с окружностью, описанной около треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим углы треугольника ABC:
угол A = угол BAC,
угол B = угол ABC,
угол C = угол ACB.
2. По условию задачи имеем:
угол BPC = A + 60°,
угол APC = B + 60°,
угол APB = C + 60°.
3. Сложим все три равенства:
угол BPC + угол APC + угол APB = (A + 60°) + (B + 60°) + (C + 60°).
4. Углы треугольника ABC в сумме дают 180°:
A + B + C = 180°.
5. Подставим это значение в уравнение:
угол BPC + угол APC + угол APB = 180° + 180° = 360°.
6. Теперь заметим, что сумма углов в точке P:
угол APB + угол BPC + угол APC = 360°.
7. Таким образом, мы можем записать:
угол APB + угол BPC + угол APC = 360°.
8. Угол KLM является углом, образованным секущими AP, BP и CP:
угол KLM = 180° - угол BPC,
угол LKM = 180° - угол APC,
угол MLK = 180° - угол APB.
9. Подставим значения углов:
угол KLM = 180° - (A + 60°) = 120° - A,
угол LKM = 180° - (B + 60°) = 120° - B,
угол MLK = 180° - (C + 60°) = 120° - C.
10. Поскольку A + B + C = 180°, получается:
угол KLM + угол LKM + угол MLK = (120° - A) + (120° - B) + (120° - C) = 360° - (A + B + C) = 180°.
11. Таким образом, каждый угол KLM, LKM и MLK равен 60°, что доказывает, что треугольник KLM является правильным.
Ответ:
К треугольнику KLM справедливо утверждение, что он является правильным треугольником.