Дано:
Треугольник ABC.
На сторонах AB и BC взяты точки P и Q соответственно, такие что BP = BQ.
Отрезки AQ и CP пересекаются в точке O.
Прямая BO пересекает сторону AC в точке E.
Найти:
Докажите, что AE : EC = AP : CQ.
Решение:
1. Пусть BP = BQ = x. Обозначим AP = a и CQ = c.
2. Рассмотрим подобие треугольников. По определению подобных треугольников, треугольники ABP и BCQ подобны. Это следует из того, что углы при точке B равны, и стороны BP и BQ равны, так как BP = BQ.
3. По подобию треугольников ABP и BCQ, мы имеем, что:
AB / BC = AP / CQ = BP / BQ.
Это выражается как:
AP / CQ = AB / BC.
4. Теперь применим теорему о пересекающихся секущих. Прямая BO пересекает стороны AQ и CP в точке O. Тогда точки A, E и C лежат на одной прямой. Прямая BO пересекает сторону AC в точке E.
5. По теореме о пересечении отрезков (свойству подобия), точки E, A и C, и точка O удовлетворяют условию, что:
AE / EC = AP / CQ.
Ответ:
AE : EC = AP : CQ.