Дано:
- Четырехугольник ABCD, вписанный в окружность.
- Угол ABC равен 82°.
- Угол ABD равен 47°.
Найти:
Угол CAD.
Решение:
1. Воспользуемся свойством вписанного четырехугольника, которое гласит, что сумма углов, образованных двумя непараллельными сторонами (в данном случае углы ABC и CAD), равна сумме углов, образованных противоположными сторонами (углы ABD и ADC).
Мы можем записать это следующим образом:
угол ABC + угол CAD = угол ABD + угол ADC.
2. Теперь выразим угол CAD через известные углы:
угол CAD = угол ABD + угол ADC - угол ABC.
3. Поскольку угол ADC является углом, противолежащим углу ABC в круге, то можно использовать свойство, что угол ADC равен углу ABC:
угол ADC = угол ACB.
4. Для нахождения угла CAD мы воспользуемся другой формулой для вписанных углов. Известно, что угол ABC и угол ADB являются смежными углами:
угол ADB = 180° - угол ABD.
5. Находим угол ADB:
угол ADB = 180° - 47° = 133°.
6. Теперь используем связь между углом CAD и углом ADB. Углы CAD и ADB также являются смежными, так как они расположены на одной и той же стороне от стороны AB:
угол CAD + угол ADB = 180°.
7. Подставляем значение угла ADB в это уравнение:
угол CAD + 133° = 180°.
8. Из этого уравнения найдем угол CAD:
угол CAD = 180° - 133° = 47°.
Ответ:
Угол CAD равен 47°.