Дано:
Четырехугольник ABCD, вокруг которого можно описать окружность. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке M.
Найти:
Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
Решение:
Для доказательства подобия треугольников MBC и MDA покажем, что у них есть равные углы.
1. Угол MBC:
Угол MBC равен углу A, так как они опираются на одну и ту же дугу AC (вписанный угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу).
2. Угол MDA:
Угол MDA равен углу C, так как он опирается на ту же дугу AC.
Таким образом, мы имеем:
угол MBC = угол A,
угол MDA = угол C.
3. Углы MCB и MDA:
Угол MCB равен углу D, так как они также опираются на одну и ту же дугу BD.
Угол MAD равен углу B, так как они опираются на одну и ту же дугу BD.
Таким образом, мы имеем:
угол MCB = угол D,
угол MAD = угол B.
4. Теперь, если мы рассматривали два угла:
- угол MBC = угол A
- угол MDA = угол C
и второй набор углов:
- угол MCB = угол D
- угол MAD = угол B
Мы можем записать равенство углов:
угол MBC + угол MCB = угол A + угол D,
угол MDA + угол MAD = угол C + угол B.
Так как сумма углов в обоих треугольниках равна 180°, то у нас есть две пары равных углов:
угол MBC = угол A,
угол MDA = угол C,
а также угол MCB = угол D,
угол MAD = угол B.
По критерию подобия треугольников (по двум углам), треугольники MBC и MDA подобны.
Ответ:
Треугольники MBC и MDA подобны по признаку равенства двух углов.