Дано:
Четырехугольник ABCD, у которого продолжения сторон пересекаются в точке M. Четырехугольник можно описать около окружности.
Найти:
Показать, что треугольники AMD и BCM подобны (AMD ∼ BCM).
Решение:
1. Поскольку четырехугольник ABCD описывается около окружности, то выполняется равенство сумм противоположных углов:
угол A + угол C = 180 градусов
угол B + угол D = 180 градусов
2. Рассмотрим углы треугольников AMD и BCM:
- Угол AMD = угол A (так как обе точки находятся на одной прямой)
- Угол BCM = угол B
3. Теперь проверим третий угол:
- Угол ADM и угол BCM также являются накрест лежащими углами, так как прямые AM и BC пересекаются в точке M. Следовательно, угол ADM = угол BCM.
4. Мы имеем два равные угла в каждом из треугольников:
- Угол AMD = угол A
- Угол ADM = угол BCM
5. Таким образом, по критерию равенства двух углов мы можем заключить, что:
- Треугольники AMD и BCM имеют два равных угла.
6. Следовательно, треугольники AMD и BCM подобны по признаку равенства углов (по двум углам).
Ответ:
Треугольники AMD и BCM подобны (AMD ∼ BCM).