Продолжения  сторон  четырёхугольника  ABCD  пересекаются  в  точке  М. Известно,  что  около  этого  четырёхугольника  можно  описать  окружность.  Докажите,  что  треугольники  AMD  и  ВСМ  подобны
от

1 Ответ

Дано:  
Четырехугольник ABCD, у которого продолжения сторон пересекаются в точке M. Четырехугольник можно описать около окружности.

Найти:  
Показать, что треугольники AMD и BCM подобны (AMD ∼ BCM).

Решение:  
1. Поскольку четырехугольник ABCD описывается около окружности, то выполняется равенство сумм противоположных углов:
   угол A + угол C = 180 градусов  
   угол B + угол D = 180 градусов

2. Рассмотрим углы треугольников AMD и BCM:
   - Угол AMD = угол A (так как обе точки находятся на одной прямой)
   - Угол BCM = угол B

3. Теперь проверим третий угол:
   - Угол ADM и угол BCM также являются накрест лежащими углами, так как прямые AM и BC пересекаются в точке M. Следовательно, угол ADM = угол BCM.

4. Мы имеем два равные угла в каждом из треугольников:
   - Угол AMD = угол A
   - Угол ADM = угол BCM

5. Таким образом, по критерию равенства двух углов мы можем заключить, что:
   - Треугольники AMD и BCM имеют два равных угла.

6. Следовательно, треугольники AMD и BCM подобны по признаку равенства углов (по двум углам).

Ответ:  
Треугольники AMD и BCM подобны (AMD ∼ BCM).
от