Дано:
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при C. Из произвольной точки M на катете BC опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB.
Найти:
Докажите, что угол MAN равен углу MCN.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник AMC и треугольник BMN.
- Угол AMC – это угол между линиями AM и CM.
- Угол BMN – это угол между линиями BM и MN.
2. Поскольку MN является перпендикуляром к AB, то угол AMN равен 90°.
3. В треугольнике AMC:
- Сумма углов равна 180°.
- Угол CAM равен углу ACB (так как они соответствующие углы в прямоугольном треугольнике).
4. Теперь рассмотрим треугольник MCN:
- Угол MCN также равен 90° (в силу того, что MN перпендикулярен AB).
- Угол MNC равен углу BCA.
5. Таким образом, имеем два треугольника:
- В треугольнике AMC: угол CAM + угол AMC + угол AMN = 180°.
- В треугольнике MCN: угол MNC + угол MCN + угол MNM = 180°.
6. Так как MN является перпендикуляром, а углы CAM и MNC соответственны, мы можем записать:
угол CAM = угол MNC,
угол AMN = угол MCN.
7. Следовательно, из равенства углов следует, что угол MAN равен углу MCN.
Ответ:
Угол MAN равен углу MCN, так как оба угла являются соответственными углами в пересекающихся прямых и образованы перпендикулярами.