Дано:
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, где AB = 25, CD = 16. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причем ∠AKB = 60°.
Найти:
Радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD.
Решение:
1. Воспользуемся теоремой о вписанных углах: согласно этой теореме, если ABCD — вписанный четырехугольник, то произведение его противоположных сторон равно произведению диагоналей, деленных на синус угла между этими диагоналями.
2. Обозначим длины сторон:
a = AB = 25,
b = BC (неизвестно),
c = CD = 16,
d = DA (неизвестно).
3. Известно, что в случае вписанного четырехугольника выполняется равенство:
a * c + b * d = AC * BD.
4. Располагать диагонали AC и BD можно следующим образом:
Так как угол AKB известен, мы можем использовать формулу для радиуса R описанной окружности:
R = (a * b * c * d) / (4 * S),
где S — площадь четырехугольника.
5. Для расчета площади S, воспользуемся формулой Брахмагупты для вписанного четырехугольника:
S = sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d), где s — полупериметр.
6. Выразим полупериметр s:
s = (a + b + c + d) / 2.
7. Поскольку стороны BC и DA нам неизвестны, но их отношения можно оценить через известные стороны. Однако в данной задаче мы можем воспользоваться другой формулой для радиуса R, основанной на угле AKB и сторонах AB и CD:
R = (AB * CD) / (2 * sin(∠AKB)).
8. Подставляем известные значения:
R = (25 * 16) / (2 * sin(60°)).
sin(60°) = sqrt(3)/2.
9. Следовательно,
R = (25 * 16) / (2 * (sqrt(3)/2)) = (25 * 16) / sqrt(3).
10. Упрощаем:
R = 400 / sqrt(3).
Ответ:
Радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, равен 400/sqrt(3).