Дано:
Три окружности равного радиуса r проходят через точку M и попарно пересекаются в точках A, B и C, отличных от точки M.
Найти:
Докажите, что точки A, B и C лежат на окружности того же радиуса, а M — точка пересечения высот треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим радиус окружностей как r. Пусть центры окружностей O1, O2 и O3 находятся на расстоянии r от точки M.
2. Так как окружности равны и каждая проходит через M, то расстояние от каждого центра окружности до точки M равно r. Следовательно:
|O1M| = |O2M| = |O3M| = r.
3. Поскольку окружности пересекаются в точках A, B и C, то точки A, B и C являются общими для различных пар окружностей. Например, точки A и B принадлежат окружностям O1 и O2, точки B и C — окружностям O2 и O3, точки C и A — окружностям O3 и O1.
4. В этом случае угол между двумя радиусами окружности, проведенными к точкам A и B из центра O1, будет равен углу между радиусами, проведенными из центра O2, к тем же точкам A и B. Это означает, что углы O1AB и O2AB равны.
5. Поскольку это справедливо для всех пар точек пересечения (A, B), (B, C) и (C, A), получается, что сумма углов треугольника O1O2O3 равна 180 градусов. Таким образом, по свойству углов видно, что треугольник ABC будет вписан в окружность с радиусом R, где точки A, B и C лежат на этой окружности.
6. Теперь определим точку M как точку пересечения высот треугольника ABC. Высота, проведенная из вершины A к основанию BC, встречает это основание под прямым углом, аналогично высоты из вершин B и C. Так как M — это точка пересечения этих высот, то она является ортогональной проекцией на стороны треугольника ABC.
7. Таким образом, мы доказали, что точки A, B и C лежат на окружности одного радиуса, а точка M является точкой пересечения высот треугольника ABC.
Ответ:
Точки A, B и C лежат на окружности равного радиуса, а M является точкой пересечения высот треугольника ABC.