Дано:
Точки A, B, C - центры трех окружностей, которые попарно касаются друг друга внешним образом в точках O, P и M. Угол ABC = 90°. Точка P лежит на прямой AC.
Найти:
Угол KPM.
Решение:
1. Обозначим радиусы окружностей с центрами в точках A, B и C как r_A, r_B и r_C соответственно.
2. Поскольку окружности касаются друг друга, мы можем сказать, что отрезки AO, BO и CO равны соответственно их радиусам: AO = r_A, BO = r_B, CO = r_C.
3. Из условия задачи следует, что угол ABC = 90°. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B.
4. Точка P находится на прямой AC, следовательно, угол APB является внешним углом для треугольника ABC, а также угол CPM.
5. Рассмотрим треугольник ABP. Поскольку угол ABC = 90°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Так как треугольник ABP будет прямоугольным в точке B, мы можем записать, что сумма углов треугольника ABP составляет 180°:
угол ABP + угол A + 90° = 180°,
угол ABP + угол A = 90°.
6. Таким образом, мы видим, что угол ABP и угол ACP комплементарны и, следовательно, соотносятся между собой.
7. Теперь, чтобы найти угол KPM, нужно рассмотреть, что угол KPM является суммой углов ABP и ACP.
8. Учитывая, что угол ABP + угол ACP = 90°, мы можем заключить, что угол KPM также равен 90°.
Ответ:
Угол KPM равен 90°.