Если диагонали четырехугольника пересекаются в точке, то они делят четырехугольник на четыре треугольника. При этом общей стороной для двух треугольников является одна из диагоналей, а высотой является другая диагональ.
Пусть ABCD - четырехугольник, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и пусть E и F - точки пересечения диагоналей с противоположными сторонами (то есть AEFC и BEFD - это диагональные прямоугольники).
Тогда площадь каждого из четырех треугольников можно выразить как половину произведения диагонали на соответствующую высоту:
S1 = (1/2)*AC*OF
S2 = (1/2)*BD*OE
S3 = (1/2)*AC*OE
S4 = (1/2)*BD*OF
Обратите внимание, что треугольники S1 и S2 имеют общую высоту OF, а треугольники S3 и S4 - общую высоту OE.
Таким образом, соотношение между площадями этих четырех треугольников зависит только от длин диагоналей AC и BD и от расстояния между ними (то есть от длин отрезков OE и OF):
S1:S2:S3:S4 = AC*OF:BD*OE:AC*OE:BD*OF
Если четырехугольник является параллелограммом, то диагонали равны между собой, и соотношение между площадями треугольников просто сводится к отношению длин отрезков OE и OF:
S1:S2:S3:S4 = OF:OE:OE:OF = 1:1:1:1