Дано: Прямая проходит через вершину параллелограмма и делит его площадь в отношении 1 : 2.
Найти: В каком отношении эта прямая делит сторону параллелограмма?
Решение:
1. Пусть параллелограмм имеет вершины A, B, C и D, где A и C противоположные вершины, а B и D — другие противоположные вершины. Пусть прямая проходит через вершину A и делит параллелограмм на два треугольника с площадями, относящимися как 1 : 2.
2. Обозначим точку пересечения прямой с диагональю AC как E. Прямая делит параллелограмм на два треугольника: треугольник ABE и треугольник AEC.
3. Площадь треугольника ABE и площадь треугольника AEC вместе составляют площадь всего параллелограмма, и их отношение 1 : 2 означает, что площадь треугольника ABE составляет 1/3 всей площади, а площадь треугольника AEC составляет 2/3 всей площади.
4. Поскольку прямая делит параллелограмм на части, где треугольник ABE имеет площадь 1/3 площади параллелограмма, это означает, что прямая пересекает сторону BC в такой точке, которая делит сторону BC в том же отношении, как и площади треугольников.
5. Обозначим точку пересечения прямой с стороной BC как F. Если прямая делит сторону BC в отношении x : 1, то, согласно свойствам подобия треугольников, отношение деления будет обратно пропорционально отношению площадей.
6. Поскольку площадь треугольника ABE составляет 1/3 всей площади параллелограмма, и это отношение пропорционально отношению деления стороны, то:
x : (1 - x) = 1 : 2.
7. Решая это уравнение для x:
x / (1 - x) = 1 / 2,
2x = 1 - x,
3x = 1,
x = 1 / 3.
8. Следовательно, прямая делит сторону параллелограмма в отношении 1 : 2.
Ответ: Прямая делит сторону параллелограмма в отношении 1 : 2.