Дано:
- Прямоугольник ABCD.
- Перпендикуляр, опущенный из вершины B на диагональ AC, делит угол ABC на два угла, величины которых относятся как 1 : 3.
Найти:
- Угол между проведенным перпендикуляром и диагональю BD.
Решение:
1. Обозначим угол ABC как α. Он делится на два угла: один угол будет x, а другой угол будет 3x (по данным).
2. Сумма этих углов равна углу ABC:
x + 3x = α,
4x = α,
x = α/4.
3. Таким образом, углы, на которые делится угол ABC, равны:
- Первый угол: x = α/4
- Второй угол: 3x = 3α/4.
4. Параллелограмм ABCD имеет прямые углы, следовательно, угол ABD равен 90 градусов.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABD. В треугольнике сумма углов равна 180 градусам:
∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180 градусов.
Подставим известные значения:
90 + α/4 + ∠ADB = 180.
6. Выразим угол ADB:
∠ADB = 180 - 90 - α/4,
∠ADB = 90 - α/4.
7. Теперь найдем угол между перпендикуляром (который делит угол ABC) и диагональю BD. Этот угол будет равен:
угол между перпендикуляром и диагональю BD = 90 - ∠ADB = 90 - (90 - α/4) = α/4.
8. Углы ABC и ADC равны по свойству прямоугольника, то есть α = 90 градусов. Подставим это значение:
угол между перпендикуляром и диагональю BD = 90/4 = 22.5 градусов.
Ответ:
Угол между проведенным перпендикуляром и диагональю BD равен 22.5 градуса.