Question

В прямоугольной трапеции боковые стороны относятся как 4:5, разность оснований равна 9 см, а меньшая диагональ — 13 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Дано:
ABCD - прямоугольная трапеция AB : AD = 4 : 5 CD - AD = 9 см BD = 13 см

Найти:
S(ABCD) - площадь трапеции

Решение:
Обозначим:
AB = 4x
AD = 5x
CD = AD + 9 см = 5x + 9 см
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD:

BD = 13 см (гипотенуза)
AB = 4x
AD = 5x
По теореме Пифагора:

BD^2 = AB^2 + AD^2
13^2 = (4x)^2 + (5x)^2
169 = 16x^2 + 25x^2
169 = 41x^2
x^2 = 169/41
x = √(169/41) = 13/√41
Найдем основания трапеции:

AB = 4x = 4 * 13/√41 = 52/√41 см
CD = 5x + 9 = 5 * 13/√41 + 9 = (65 + 9√41)/√41 см
Найдем высоту трапеции:

h = AD = 5x = 5 * 13/√41 = 65/√41 см
Найдем площадь трапеции:

S(ABCD) = (AB + CD) * h / 2 = [(52/√41) + (65 + 9√41)/√41] * (65/√41) / 2 = (117 + 9√41) * (65/√41) / 2 = (117 * 65 + 9 * 65 * √41) / (2√41) = (7605 + 585√41) / (2√41) см^2

Ответ:
Площадь трапеции равна (7605 + 585√41) / (2√41) см^2.