Дано:
ABC - прямоугольный треугольник O - центр вписанной окружности точка касания окружности с катетом делит его на отрезки 3 см и 12 см
Найти:
P(ABC) - периметр треугольника
Решение:
Используем свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
Обозначим длину отрезка касательной от вершины A как x, от вершины B как y, а от вершины C как z.
Запишем длины сторон треугольника:
AB = x + 3
BC = y + 12
AC = z + 3 + 12 = z + 15
По теореме Пифагора:
AB^2 + BC^2 = AC^2
(x + 3)^2 + (y + 12)^2 = (z + 15)^2
Используем равенство отрезков касательных:
x = z
y = z
Подставим x = z и y = z в уравнение из пункта 3:
(z + 3)^2 + (z + 12)^2 = (z + 15)^2
Решим уравнение:
z^2 + 6z + 9 + z^2 + 24z + 144 = z^2 + 30z + 225
z^2 + 6z + 144 = 30z + 225
z^2 - 24z - 81 = 0
(z - 27)(z + 3) = 0
z = 27 (отрицательное решение не подходит)
Найдем стороны треугольника:
AB = x + 3 = 27 + 3 = 30 см
BC = y + 12 = 27 + 12 = 39 см
AC = z + 15 = 27 + 15 = 42 см
Найдем периметр треугольника:
P(ABC) = AB + BC + AC = 30 см + 39 см + 42 см = 111 см
Ответ:
Периметр треугольника равен 111 см.