Дано:
- Параллелограмм ABCD.
- Точки M на стороне AB и N на стороне BC так, что AM = CN.
- Q — точка пересечения отрезков AN и CM.
Найти:
- Доказать, что отрезок DQ является биссектрисой угла D.
Решение:
1. Обозначим длину отрезков AM и CN как x. Тогда имеем:
AM = CN = x.
2. В параллелограмме ABCD противолежащие стороны равны и параллельны:
AB = CD и BC = AD.
3. Рассмотрим треугольники AMQ и CNQ. Так как AM = CN, а точки A и C находятся в одном параллелограмме, то можно сказать, что:
AQ = CQ (поскольку AQ и CQ являются отрезками, соединяющими одну и ту же сторону D).
4. Поскольку M и N выбраны на сторонах AB и BC соответственно, то можем утверждать, что углы ∠AMQ и ∠CNQ равны, так как они находятся между параллельными прямыми AB и CD.
5. Таким образом, треугольники AMQ и CNQ равны по двум сторонам и углу между ними (по следующему критерию равенства треугольников: сторона-сторона-угол).
6. Это приводит к тому, что:
MQ = NQ.
7. Теперь рассмотрим угол D в параллелограмме ABCD. Углы DAB и DCB равны, так как это противоположные углы параллелограмма.
8. Из того, что Q является точкой пересечения отрезков AN и CM, следует, что DQ делит угол D пополам. Таким образом, мы можем заключить, что:
∠ADQ = ∠CDQ.
Ответ:
Отрезок DQ является биссектрисой угла D.