Дано: углы α и β.
Найти: cos(α + β).
Решение:
Для доказательства формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся тригонометрическими функциями и свойствами единичной окружности.
1. Рассмотрим единичную окружность. Пусть точка P соответствует углу α, а точка Q соответствует углу β. Мы можем выразить эти углы как координаты на окружности:
P(cos(α), sin(α)),
Q(cos(β), sin(β)).
2. Теперь определим координаты точки R, соответствующей углу (α + β). Эта точка может быть получена при помощи вращения вектора, который соединяет начало координат с точкой P, на угол β.
3. Используя геометрические свойства, мы можем записать координаты точки R как:
x = cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).
4. Доказательство можно также провести через векторы. Вектор, соответствующий углу α, и вектор, соответствующий углу β, могут быть сложены, чтобы получить вектор, соответствующий углу (α + β).
5. Вот как это выглядит:
Если A = (cos(α), sin(α)), B = (cos(β), sin(β)), то результирующий вектор C будет иметь координаты
C = (cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β), sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)).
6. Из данной зависимости видно, что x-координата результата является значением cos(α + β).
Ответ:
cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β).