Дано: углы 75° и 15°.
Найти: точные значения sin(75°) и cos(15°).
Решение:
а) Найдем sin(75°):
Используем формулу синуса суммы:
sin(A + B) = sin(A) · cos(B) + cos(A) · sin(B),
где A = 45° и B = 30°.
1. Подставим значения:
sin(75°) = sin(45° + 30°)
= sin(45°) · cos(30°) + cos(45°) · sin(30°).
2. Значения тригонометрических функций:
sin(45°) = √2/2,
cos(30°) = √3/2,
cos(45°) = √2/2,
sin(30°) = 1/2.
3. Подставим эти значения в формулу:
sin(75°) = (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2)
= (√6/4) + (√2/4)
= (√6 + √2)/4.
Ответ для sin(75°):
sin(75°) = (√6 + √2)/4.
б) Найдем cos(15°):
Используем формулу косинуса разности:
cos(A - B) = cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B),
где A = 45° и B = 30°.
1. Подставим значения:
cos(15°) = cos(45° - 30°)
= cos(45°) · cos(30°) + sin(45°) · sin(30°).
2. Подставим известные значения:
cos(45°) = √2/2,
cos(30°) = √3/2,
sin(45°) = √2/2,
sin(30°) = 1/2.
3. Подставим эти значения в формулу:
cos(15°) = (√2/2) · (√3/2) + (√2/2) · (1/2)
= (√6/4) + (√2/4)
= (√6 + √2)/4.
Ответ для cos(15°):
cos(15°) = (√6 + √2)/4.
Сравнение с приближенными значениями из таблицы:
Приближенные значения:
sin(75°) ≈ 0.9659,
cos(15°) ≈ 0.9659.
Точные значения:
sin(75°) = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659,
cos(15°) = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659.
Ответ:
а) sin(75°) = (√6 + √2)/4.
б) cos(15°) = (√6 + √2)/4.
Обе функции имеют приблизительные значения, совпадающие с табличными значениями.