Дано: меньшее основание прямоугольной трапеции равно 1, диагональ образует с большим основанием и боковой стороной углы α.
Найти: большее основание трапеции.
Решение:
1. Обозначим большее основание как B.
2. По условиям задачи, будем иметь два прямоугольных треугольника, образованных боковой стороной и диагональю, где:
- один угол равен α (между боковой стороной и диагональю),
- другой угол будет равен 90° - α (между боковой стороной и большим основанием).
3. В этом случае соотношения между сторонами можно выразить через тригонометрические функции:
- длина боковой стороны h будет равна B * sin(α),
- высота прямоугольной трапеции (которая соответствует меньшему основанию) будет равна h * cos(α).
4. Поскольку меньшая основа равна 1, можем записать для высоты h следующее уравнение:
h = 1 / cos(α).
5. Подставляем значение h в формулу для большего основания:
B * sin(α) = 1 / cos(α).
6. Теперь выразим B:
B = (1 / cos(α)) / sin(α) = 1 / (sin(α) * cos(α)).
7. Используя формулу двойного угла, мы знаем, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Отсюда:
B = 1 / (1/2 * sin(2α)) = 2 / sin(2α).
Ответ:
Большее основание трапеции равно 2 / sin(2α).