Дано:
1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен α.
2. Основание равно a.
Найти:
Радиус вписанной в треугольник окружности r.
Решение:
1. Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника как b. Мы можем выразить высоту h треугольника через угол α и основание a:
Для нахождения высоты h опустим перпендикуляр из вершины A на основание BC. Эта высота будет делить основание пополам, так что половина основания равна a/2.
2. Используем тригонометрию для нахождения высоты h:
h = b * sin(α).
3. Также можем использовать теорему косинусов для нахождения бикубической стороны b:
По теореме косинусов:
b² = (a/2)² + h²,
где h = b * sin(α).
Подставляем:
b² = (a/2)² + (b * sin(α))².
4. Выразим радиус вписанной окружности r через площадь S треугольника и полупериметр p:
p = (a + 2b) / 2,
S = (a * h) / 2.
5. Таким образом, радиус r можно выразить как:
r = S / p
= [(a * h) / 2] / [(a + 2b) / 2]
= [a * h] / (a + 2b).
6. Теперь подставим h:
r = [a * (b * sin(α))] / (a + 2b).
7. Чтобы получить окончательное выражение для r, мы будем использовать значение b через a и α. Чтобы упростить это, воспользуемся формулой для b:
b = a / (2 * cos(α)).
Теперь подставим это значение в формулу для r:
r = [a * ( (a/(2 * cos(α))) * sin(α) )] / (a + 2*(a/(2 * cos(α)))).
Упрощая, получаем:
r = [a² * sin(α) / (2 * cos(α))] / (a + a/cos(α)),
что упростится до:
r = [a² * sin(α) / (2 * cos(α))] / [a(1 + 1/cos(α))].
8. Упростив, мы получим окончательную формулу для радиуса вписанной окружности в зависимости от основания a и угла α.
Ответ:
Радиус вписанной в треугольник окружности r = (a * tan(α / 2)).