Дано:
1. Треугольник с сторонами a, b и c.
2. Углы α (против стороны a) и β (против стороны b).
Найти:
Доказать, что длину c можно найти по формуле c = a · cos β + b · cos α. Проверить справедливость этой формулы в случае, если один из углов α или β тупой.
Решение:
1. Рассмотрим треугольник ABC, где:
- AB = c (сторона, против угла C),
- AC = b (сторона, против угла B),
- BC = a (сторона, против угла A).
2. Используем проекции сторон на одну из осей (например, ось x). Мы можем выразить сторону c через проекции a и b на эту ось.
3. Проекция стороны a на сторону c будет равна a · cos β, а проекция стороны b на сторону c будет равна b · cos α.
4. Таким образом, получаем:
c = a · cos β + b · cos α.
Теперь проверим справедливость формулы в случае, когда один из углов является тупым:
5. Если α > 90°, то cos α < 0, следовательно, b · cos α < 0. Это означает, что часть длины b будет "вычитаться" из общей суммы, что корректно отражает изменение длины c.
6. Если β > 90°, то cos β < 0, аналогично, b · cos β < 0 тоже будет вычитаться. Таким образом, в этом случае мы также получим правильную длину c.
7. Если оба угла α и β острые, то обе проекции будут положительными, и формула даст корректное значение для длины c.
Ответ:
Формула c = a · cos β + b · cos α верна как для острых, так и для тупых углов α и β.