Дано:
1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен α.
2. Обозначим длину равных сторон как a.
Найти:
Отношение радиуса вписанной окружности r к высоте h, опущенной на основание.
Решение:
1. Площадь S равнобедренного треугольника можно выразить двумя способами: через основание и высоту, а также через стороны и угол.
Пусть основание треугольника равно b. Тогда высота h, опущенная на основание, может быть найдена с помощью синуса:
h = a * sin(α).
Площадь S = (1/2) * b * h = (1/2) * b * (a * sin(α)) = (1/2) * a * b * sin(α).
2. Также площадь S можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр p:
S = r * p.
Полупериметр p равен (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2.
Таким образом, получаем:
S = r * ((2a + b) / 2).
3. Приравняем два выражения для площади:
(1/2) * a * b * sin(α) = r * ((2a + b) / 2).
4. Найдем радиус r:
r = (a * b * sin(α)) / (2 * (2a + b)).
5. Теперь найдем отношение r / h:
h = a * sin(α),
r / h = [(a * b * sin(α)) / (2 * (2a + b))] / (a * sin(α)).
Сократим a * sin(α):
r / h = b / (2 * (2a + b)).
Ответ:
Отношение радиуса вписанной окружности к высоте, опущенной на основание, равно b / (2 * (2a + b)).