Дано:
1. Сторона квадрата ABCD равна 1 м.
2. Точка E находится на стороне AD, так что угол ∠ECD = α.
3. Перпендикуляр BH опущен из точки B на линию CE.
Найти:
Площадь треугольника ABH.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин квадрата ABCD:
- A (0, 1)
- B (1, 1)
- C (1, 0)
- D (0, 0)
2. Пусть точка E имеет координаты (0, y), где 0 ≤ y ≤ 1.
3. Угол ∠ECD = α означает, что линия CE образует угол α с горизонтальной осью. Найдем уравнение прямой CE.
4. Угловой коэффициент прямой CE равен tan(α). Уравнение прямой CE можно записать как:
y - 0 = tan(α)(x - 1),
y = tan(α)(x - 1).
5. Теперь мы знаем, что y = 0, когда x = 1, и y = 1, когда x = 1 - cotan(α). Таким образом, точка H пересечения BH и CE будет находиться по следующему правилу.
6. Так как BH — это перпендикуляр от B к CE, то его угловой коэффициент равен -1/tan(α). Уравнение прямой BH:
y - 1 = -cotan(α)(x - 1),
y = -cotan(α)(x - 1) + 1.
7. Найдем точку H, приравняв уравнения CE и BH:
tan(α)(x - 1) = -cotan(α)(x - 1) + 1.
8. Перепишем уравнение:
tan(α)(x - 1) + cotan(α)(x - 1) = 1.
9. Упрощаем выражение:
(x - 1)(tan(α) + cotan(α)) = 1.
10. Таким образом,
x - 1 = 1 / (tan(α) + cotan(α)),
x = 1 + 1 / (tan(α) + cotan(α)).
11. Подставим это значение x в одно из уравнений для нахождения y:
y = tan(α)(x - 1) = tan(α) * (1 / (tan(α) + cotan(α))) = tan(α) / (tan(α) + cotan(α)).
12. Площадь треугольника ABH можно найти по формуле:
S = 1/2 * основание * высота,
где основание AB = 1, а высота BH = y.
13. Таким образом, площадь треугольника ABH:
S = 1/2 * 1 * (tan(α) / (tan(α) + cotan(α))) = 1/2 * tan(α) / (tan(α) + 1/tan(α)) = 1/2 * tan(α) / ((tan²(α) + 1) / tan(α)) = 1/2 * tan²(α) / (tan²(α) + 1).
14. Можно упростить и переписать:
S = 1/2 * sin(α) * cos(α).
Ответ:
Площадь треугольника ABH равна 1/2 * sin(α) * cos(α) квадратных метров.