Дано:
1. Радиус окружности R = 2.
2. Углы треугольника α = 15° и β = 45°.
3. Третий угол γ можно найти из условия, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, γ = 180° - α - β = 180° - 15° - 45° = 120°.
Найти:
Площадь треугольника.
Решение:
1. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S = (R^2 / 2) * (sinα * sinβ * sinγ) / sin(α + β + γ).
2. Подставим значения для углов и радиуса:
S = (2^2 / 2) * (sin(15°) * sin(45°) * sin(120°)) / sin(180°).
3. Упростим выражение:
S = (4 / 2) * (sin(15°) * sin(45°) * sin(120°)) / sin(180°)
S = 2 * (sin(15°) * sin(45°) * sin(120°)) / 0 (так как sin(180°) = 0).
4. Вместо этого воспользуемся другой формулой для площади треугольника, вписанного в окружность:
S = (abc) / (4R), где a, b, c — стороны треугольника.
5. Используем теорему синусов. Для сторон треугольника справедливо:
a = 2R * sin(α),
b = 2R * sin(β),
c = 2R * sin(γ).
6. Находим длины сторон:
a = 2 * 2 * sin(15°) = 4 * sin(15°),
b = 2 * 2 * sin(45°) = 4 * sin(45°),
c = 2 * 2 * sin(120°) = 4 * sin(120°).
7. Следовательно:
S = (4 * sin(15°) * 4 * sin(45°) * 4 * sin(120°)) / (4 * 2).
8. Упрощаем:
S = (16 * sin(15°) * sin(45°) * sin(120°)) / 8 = 2 * sin(15°) * sin(45°) * sin(120°).
9. Считаем значения синусов:
sin(15°) = 0.2588,
sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0.7071,
sin(120°) = √3 / 2 ≈ 0.8660.
10. Подставляем:
S ≈ 2 * 0.2588 * 0.7071 * 0.8660.
11. Вычисляем:
S ≈ 2 * 0.2588 * 0.6124 ≈ 0.316.
Ответ:
Площадь треугольника, вписанного в окружность с радиусом 2 и углами 15° и 45°, примерно равна 0.316 квадратных единиц.