Дано:
Углы 15° и 75°.
Найти:
Точные значения sin(15°) и sin(75°), а также их произведение.
Решение:
1. Для нахождения sin(15°) можно использовать формулу синуса разности углов:
sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°) · cos(30°) - cos(45°) · sin(30°).
2. Известно, что:
sin(45°) = √2 / 2,
cos(30°) = √3 / 2,
cos(45°) = √2 / 2,
sin(30°) = 1 / 2.
3. Подставляя известные значения в формулу, получаем:
sin(15°) = (√2 / 2) · (√3 / 2) - (√2 / 2) · (1 / 2)
= (√6 / 4) - (√2 / 4)
= (√6 - √2) / 4.
4. Теперь найдем sin(75°) с помощью формулы синуса суммы углов:
sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°) · cos(30°) + cos(45°) · sin(30°).
5. Подставляем известные значения:
sin(75°) = (√2 / 2) · (√3 / 2) + (√2 / 2) · (1 / 2)
= (√6 / 4) + (√2 / 4)
= (√6 + √2) / 4.
6. Теперь вычислим произведение sin(15°) и sin(75°):
sin(15°) · sin(75°) = [(√6 - √2) / 4] · [(√6 + √2) / 4]
= (√6 - √2)(√6 + √2) / 16
= (6 - 2) / 16
= 4 / 16
= 1 / 4.
Ответ:
Точные значения: sin(15°) = (√6 - √2) / 4, sin(75°) = (√6 + √2) / 4. Произведение этих значений равно 1 / 4.