Дано: Треугольник ABC с равными сторонами (AB = BC = CA). Пусть точка P находится в плоскости. Соединяем P с вершинами треугольника ABC отрезками PA, PB и PC.
Найти: Докажите, что из трех отрезков PA, PB и PC можно либо составить треугольник, либо один из этих отрезков равен сумме двух других.
Решение:
1. По теореме треугольника, для того чтобы отрезки можно было соединить в треугольник, сумма длин любых двух отрезков должна быть больше длины третьего отрезка.
2. Проверим это для отрезков PA, PB и PC:
- Проверим неравенство: PA + PB > PC
- Проверим неравенство: PA + PC > PB
- Проверим неравенство: PB + PC > PA
3. Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то это означает, что одна из сторон равна разности двух других. В этом случае:
- Если PA + PB = PC, то отрезки PA, PB и PC можно соединить в треугольник, где одна из сторон равна сумме двух других.
- Если PA + PC = PB, то отрезки PA, PB и PC можно соединить в треугольник, где одна из сторон равна сумме двух других.
- Если PB + PC = PA, то отрезки PA, PB и PC можно соединить в треугольник, где одна из сторон равна сумме двух других.
4. Поскольку треугольник ABC равносторонний, его стороны равны, и точка P может находиться в произвольной позиции в плоскости. Следовательно, независимо от расположения точки P, если длины отрезков PA, PB и PC удовлетворяют вышеупомянутым неравенствам или одно из равенств, то они либо формируют треугольник, либо один из отрезков равен сумме двух других.
Ответ: Из трех отрезков PA, PB и PC всегда можно либо сложить треугольник, либо один из отрезков равен сумме двух других.