Точка касания вписанной в  треугольник окружности делит его сторону на  отрезки с  длинами 5 и  21. Найдите периметр этого треугольника, если в  нём против этой стороны лежит угол 60°
от

1 Ответ

Дано:
- Длина отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника: 5 и 21 (в СИ: 5 м и 21 м).
- Угол между сторонами, на которые делится эта сторона: 60°.

Найти:
- Периметр треугольника.

Решение:

1. Обозначим треугольник ABC, где сторона BC делится на отрезки BD = 5 и DC = 21 точкой касания вписанной окружности. Пусть AB = c, AC = b, а BC = a = BD + DC = 5 + 21 = 26.

2. Из свойства вписанной окружности знаем, что отрезки, на которые делится сторона, равны сумме длины двух других сторон минус длина третьей стороны:

   BD = s - b
   DC = s - c

   где s — полупериметр треугольника.

   Подставляем известные значения:
   5 = s - b
   21 = s - c

   Из этих уравнений выражаем b и c:
   b = s - 5
   c = s - 21

3. Полупериметр s выражается через сторону a и стороны b и c:

   s = (a + b + c) / 2
   s = (26 + (s - 5) + (s - 21)) / 2
   s = (26 + s - 5 + s - 21) / 2
   s = (2s) / 2
   s = s

   Это уравнение подтверждает, что значения b и c выражены верно.

4. Теперь применим косинусное правило к треугольнику ABC, чтобы найти стороны b и c:

   a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(60°)
   26^2 = (s - 5)^2 + (s - 21)^2 - 2 * (s - 5) * (s - 21) * 0.5
   676 = (s - 5)^2 + (s - 21)^2 - (s - 5) * (s - 21)

   Раскроем скобки и упростим:
   676 = s^2 - 10s + 25 + s^2 - 42s + 441 - s^2 + 26s - 105
   676 = s^2 - 10s + 25 + s^2 - 42s + 441 - s^2 + 26s - 105
   676 = s^2 - 26s + 361
   s^2 - 26s + 361 = 676

   Упрощаем:
   s^2 - 26s - 315 = 0

   Решаем квадратное уравнение:
   s = (26 ± sqrt(26^2 + 4 * 315)) / 2
   s = (26 ± sqrt(676 + 1260)) / 2
   s = (26 ± sqrt(1936)) / 2
   s = (26 ± 44) / 2

   Принимаем положительное значение:
   s = (26 + 44) / 2
   s = 35

5. Периметр треугольника равен 2s:
   Периметр = 2 * 35 = 70

Ответ:
Периметр треугольника равен 70 м.
от