Дано:
- Длина отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника: 5 и 21 (в СИ: 5 м и 21 м).
- Угол между сторонами, на которые делится эта сторона: 60°.
Найти:
- Периметр треугольника.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где сторона BC делится на отрезки BD = 5 и DC = 21 точкой касания вписанной окружности. Пусть AB = c, AC = b, а BC = a = BD + DC = 5 + 21 = 26.
2. Из свойства вписанной окружности знаем, что отрезки, на которые делится сторона, равны сумме длины двух других сторон минус длина третьей стороны:
BD = s - b
DC = s - c
где s — полупериметр треугольника.
Подставляем известные значения:
5 = s - b
21 = s - c
Из этих уравнений выражаем b и c:
b = s - 5
c = s - 21
3. Полупериметр s выражается через сторону a и стороны b и c:
s = (a + b + c) / 2
s = (26 + (s - 5) + (s - 21)) / 2
s = (26 + s - 5 + s - 21) / 2
s = (2s) / 2
s = s
Это уравнение подтверждает, что значения b и c выражены верно.
4. Теперь применим косинусное правило к треугольнику ABC, чтобы найти стороны b и c:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(60°)
26^2 = (s - 5)^2 + (s - 21)^2 - 2 * (s - 5) * (s - 21) * 0.5
676 = (s - 5)^2 + (s - 21)^2 - (s - 5) * (s - 21)
Раскроем скобки и упростим:
676 = s^2 - 10s + 25 + s^2 - 42s + 441 - s^2 + 26s - 105
676 = s^2 - 10s + 25 + s^2 - 42s + 441 - s^2 + 26s - 105
676 = s^2 - 26s + 361
s^2 - 26s + 361 = 676
Упрощаем:
s^2 - 26s - 315 = 0
Решаем квадратное уравнение:
s = (26 ± sqrt(26^2 + 4 * 315)) / 2
s = (26 ± sqrt(676 + 1260)) / 2
s = (26 ± sqrt(1936)) / 2
s = (26 ± 44) / 2
Принимаем положительное значение:
s = (26 + 44) / 2
s = 35
5. Периметр треугольника равен 2s:
Периметр = 2 * 35 = 70
Ответ:
Периметр треугольника равен 70 м.