Дано:
- Прямоугольный треугольник.
- Катеты видны из точки под углами 60°.
- Расстояния от точки до концов гипотенузы равны 5 и 6.
Найти расстояние x от данной точки до третьей вершины треугольника.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где угол C прямой, AB - гипотенуза, AC и BC - катеты. Пусть точка наблюдения - O.
2. Расстояния от точки O до концов гипотенузы:
- OA = 5
- OB = 6
3. Угол между OA и OB равен 120° (так как катеты видны под углом 60°, а полная окружность - 360°, угол между OA и OB будет 180° - 60° = 120°).
4. Используем формулу для расстояния между двумя точками в полярных координатах или метод косинусов в треугольнике OAB:
- x^2 = OA^2 + OB^2 - 2 * OA * OB * cos(120°)
5. Подставляем значения:
- cos(120°) = -0.5
- x^2 = 5^2 + 6^2 - 2 * 5 * 6 * (-0.5)
- x^2 = 25 + 36 + 30
- x^2 = 91
- x = sqrt(91)
Ответ:
Расстояние от точки O до третьей вершины треугольника равно sqrt(91).