дано:
- квадрат ABCD со сторонами длиной a (в метрах).
- точка P внутри квадрата, такая что угол APB = угол CPD = 90°.
найти:
доказать, что точка P является центром квадрата.
решение:
1. Обозначим центр квадрата как O. Поскольку квадрат симметричен, координаты O равны (a/2, a/2).
2. Рассмотрим треугольники APB и CPD. Так как угол APB равен 90°, это означает, что отрезки PA и PB перпендикулярны.
3. Поскольку угол CPD также равен 90°, отрезки PC и PD также перпендикулярны.
4. Параллельные стороны квадрата AB и CD являются равными и находятся на одинаковом расстоянии от центра O.
5. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что если угол между двумя отрезками равен 90°, то точка P будет находиться на окружности, описанной вокруг этого треугольника.
6. В данном случае, поскольку угол APB = 90°, и PA, PB пересекают стороны квадрата, это указывает на то, что P находится на равном расстоянии от обеих сторон AB и CD.
7. Таким образом, расстояния от точки P до сторон AB и CD равны, что может быть верно только в том случае, если P совпадает с центром квадрата O.
ответ:
точка P является центром квадрата.